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等比数列和等差数列的递推公式
我也从网上找个资料吧。
等差数列:
设有一个等差数列
a1,
a2,
a3,
...an,
这个数列的每一项加一个定数都等于后一项,这个定数就叫数列的公差,
设公差是d,
数列也可表示为
a1,
a1+d,
a1+2d,
....a1+(n-1)d,
可见此数列的通项公式就是
an=a1+(n-1)d
求此数列前n项的和:细观察可发现,等差数列的第一项加最后一项正好等于第二项加倒数第二项,
第三项加倒数第三项也等于第一项加最后一项,....
所以可得
Sn=n(a1+an)/2,
Sn表示数列前n项的和,
如果把an=a1+(n-1)d代入,还可表示为
Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
等比数列:
设有一个等比数列
a1,
a2,
a3,
...an,
这个数列(从第二项起)每一项除以前一项都等于一个定数,这个定数就叫数列的公比,
设公比是q,
数列也可表示为
a1,
a1q,
a1q²,
....a1q^(n-1),
可见此数列的通项公式就是
an=a1*q^(n-1)
求此数列前n项的和:设Sn=a1+a1q+a1q²+....+a1q^(n-1),
(1)
将等式两边同乘以q,
可得
q*Sn=a1q+a1q²+a1q³+....+a1q^(n-1),a1q^n,
(2)
用(1)减(2),可得
Sn(1-q)=a1-a1q^n
就是
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)这就是等比数列前n项和的公式.
等比数列通项推导过程
等比数列的通项公式可以通过不断地对前一项乘以一个固定的比例因子来推导出来。
1、等比数列的定义
等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值都相等的数列。比值常用字母q表示，被称为公比。
2、第一项a₁和公比q
等比数列的第一项记为a₁，公比记为q，根据定义可知，任意一项与它前一项的比值都等于公比q，即aₙ/aₙ₋₁= q。
3、通项公式的推导
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，我们需要找到一个通项公式来表示任意一项aₙ。
4、当n= 1时
根据等比数列的定义，a₁是第一项，没有前一项。因此，a₁/aₙ₋₁没有意义，此时我们无法用比值来表示a₁。
5、当n> 1时
我们将等比数列的第n项记为aₙ，并假设它等于前一项aₙ₋₁与公比q的乘积，即aₙ= aₙ₋₁* q。
6、递推关系式
根据以上假设，我们可以得到等比数列的递推关系式：aₙ= aₙ₋₁* q。
7、推导通项公式
我们可以通过不断地对前一项乘以公比q来表示任意一项。根据递推关系式，我们可以得到f(aₙ₋₁, q)= aₙ= aₙ₋₁* q。不断将递推关系式代入，我们可以得到：aₙ= aₙ₋₁* q= aₙ₋₂* q* q= aₙ₋₃* q* q* q=...= a₁* q^(n-1)。等比数列的通项公式为：aₙ= a₁* q^(n-1)。
等比数列的性质
1、公比的性质
如果公比q> 1，那么等比数列是递增的。如果公比0< q< 1，那么等比数列是递减的。如果公比q= 1，那么等比数列是恒等的。
2、如何求等比数列的前n项和
等比数列的前n项和可以用公式来求解：Sn= a₁*(1- q^n)/(1- q)，其中a₁是第一项，q是公比。
数学递推公式
公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。
类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．
类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．
类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．
类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．
(2)“倒数法”转化为类型三．
递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．
若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．
类型五
递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)•nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．
总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．
数列的递推公式
数列的递进公式，如下所示：
数列的递推公式=n/n+1。如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式。例如斐波纳契数列的递推公式为 an=an-1+an-2。
等差数列递推公式：an=d(n-1)+a（d为公差，a为首项）。
等比数列递推公式：bn=q(n-1)*b（q为公比 b为首项）。
由递推公式写出数列的方法：
1.根据递推公式写出数列的前几项，依次代入计算即可。
2.若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。
数列的含义：
数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。